我看《遇見哥德巴赫猜想》

數論，數學裡面相當古老的一支學問，古老到與文明的起源同樣的長久，自人類開始運用手指頭計數的當下，就是數論誕生之時。隨著時間演進，由單純的計數（counting）動作，漸漸衍生出抽象"數"（number）的概念，藉由四則運算的定義，賦予數諸多性質，例如除法、整除性、質數…等等，全都是我們小學就已經學過而且熟練的東西，這麼簡單的東西卻折磨了數學家四千多年，因為我們還沒完全瞭解數的全部面貌。

《遇見哥德巴赫猜想》 是一本跟數學有關的小說。第一次看到書上的簡介，我的腦中浮現的應該是跟各位一樣的想法：跟數學有關！那一定沈悶到了極點，充其量稱之為一本科普書還差不多，叫小說太牽強。後來聽我老師形容這是一本精彩的小說，描寫數學人面對困難挑戰的心裡十分的傳神，（後來我想想美麗境界不也是一部跟數學有關而且好看的電影），但他後面還加了一句

這是一個失敗數學家的故事
我一直遲遲不願意翻閱，自從買來就被我冷凍在書櫃裡，深怕在裡面找到自己的影子。書中的簡介是這樣寫的：

派楚先生畢生致力於挑戰史上最困難的數學理論之一：哥德巴赫猜想。在旅居多國、歷經不同戰爭，以及與歷史人物對立的引人場面後，派楚已努力朝向成功之境邁進，直到他不發一言地消失在希臘鄉村的那一天…
數十年後，雄心勃勃的姪子探知了派楚不為人知的過去，鼓勵這位退隱的遁世者回到哥德巴赫猜想的研究上：但這趟不悔的終極追尋旅程已賠上了這老年人的健康，甚至他的一生…

但我終究還是翻開了這本書，而且一開始看就停不下來，連著四小時一口氣的讀完。

哥德巴赫猜想是在 1742 年一個業餘的德國數學家 Goldbach 寫給知名數學家 Euler 的信中提到：

任何一個大於5的整數都可以寫成三個質數和
Euler把他改成現今大家比較熟悉的版本：

任何一個大於2的偶數都可以寫成兩個質數和
這個問題就跟費瑪最後定理一樣的淺顯易懂，然而費瑪最後定理折磨數學家三百多年，哥德巴赫猜想仍持續地凌虐著現代的數學人們。

作者藉由一個虛構的主角，來描述近代一些數學上重要的進展，如質數定理（Prime Number Theorem）的證明，Hilbert 的23個問題等等，其中也穿插了一些知名數學家如 Caratheodory、Hardy、Littlewood、Ramanujan、Turing、Gödel 的軼事。

數學是一門很奇特的學科，它是少數人類智力活動中與體育運動如此相仿的學問，需要年輕以及天分作為成功的條件。數學界中的聖盃 Fields Medal 就限制40歲以前的數學家才有得獎資格，Ramanujan 在短暫的37歲生命中對數學提供了許多貢獻，也留下了許多奇異的猜想，而 Galois 在未滿20歲時已經解決了亙古的希臘三大幾何難題的其中兩個，45歲才證明費瑪最後定理的 Andrew Wiles 倒是一個令人驚奇的特例。除了上述兩個條件外，成功的數學家也需具備異於常人的毅力跟專注，不過也因此導致許多數學家悲慘的命運，Abel 終其一生窮困潦倒，Ramanujan 和 Galois 英年早逝，Turing 自殺，Cantor 下半輩子都住在精神療養院，Gödel 患有精神分裂症，最後絕食而死。這些天才用盡了他們一生的智力為數學綻放出絢爛的火花，卻也因此烈火灼身而亡。

當我唸完大學數學，便瞭解數學是天才玩的遊戲，不自量力的繼續堅持只為了能多欣賞一下這門藝術，進而帶領有興趣的人進入這個 wonderland。我相信數學是宇宙共通的語言，任何人都是在旅行的途中偶然發現了一顆寶石，而歷史為其人記上一筆喝采，我並不相信刻意的尋找會有任何結果，對於書中主角之於哥德巴赫猜想幾近狂熱的執著，一方面感到佩服，另一方面也感到惋惜。所以當我看到《費瑪最後定理》中描述 Adrew Wiles 十歲時接觸到費瑪最後定理就立志證明它的文字，我彷彿看到年幼的蔣公在河中發現小魚逆流而上般的神話。

至於我在書中有沒有看到我的影子呢？當然有，而且到處都是。

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遇見哥德巴赫猜想
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舊照整理（1）

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從高中第一台 Nikon FM2 到現在，累積了不少的相片，一直沒有好好的整理過，希望可以慢慢的整理出來。

一樣數學兩種表述

有的人喜歡算命的原因，是喜歡那種確定的感覺，明白的告訴你什麼可以，跟什麼絕對不行。我想這樣的人可能對數學的排斥感會比其他人低一點，因為數學也是一門這樣的學問。

女友在教今晚的家教時發現了一個有趣的題目：

任何一個凸十邊形最多只能有三個銳角
銳角就是小於（直角）的角度，凸多邊形就是沒有"凹下去"的多邊形，這樣講好像跟沒講一樣，用圖來說明比較清楚：

  這是一個凹十邊形    這是一個凸十邊形。

在告知我這個問題之後，我們兩人分別想出自己的證明方式。女友的思路向來比較嚴謹跟縝密，要求什麼就假設什麼，她先假設隨便一個十邊形有 個角度 ，則這些角度一定會 , 其中 是一個大於0的任意數。因為十邊形的內角和是 （一個 邊形的內角和為 ），所以一個正十邊形的內角是 ，如一個十邊形有 個銳角，則剩下的 的內角就必須要"分攤"這 個銳角不到 的部分，所以會有下面的不等式：


最後推得 ，因為 是整數，所以 最多只能到3。

而我天生反骨，我就偏要看看如果有四個內角 會怎樣。若是這樣，那這四個銳角的內角和就 ，因為十邊形的內角和是 ，所以其他六個內角的內角和會大於 ，則其中必定有一個角的角度一定大於 ，這樣就跟凸十邊形矛盾了。所以銳角個數不可能大於3個。

順著看也行，反著看也行，鍾鼎山林，各有所好。

後記：後來發現這是一個普遍性的現象，也就是說，

任一個凸 邊形最多只能有三個銳角
也是利用同樣的證法，假設有四個內角 ，四個銳角的內角和就 ，一個 邊形的內角和為 ，由此推得剩下的 內角的內角和會大於 ，則其中必定有一個角的角度一定大於 ，這樣就跟凸 邊形矛盾了。所以銳角個數不可能大於3個。
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Why 60?

是這樣的，今天中午天外飛來一個問題，物理老師S桑沒頭沒腦的這樣問：

為什麼一個小時是60分鐘
腦中瞬間閃過的是巴比倫人的60進位，於是我便順口回答這是沿襲古巴比倫人60進位制的緣故，這件事情成立的話，那

為什麼一天是24小時
就是個顯而易見的答案了，然而這樣的答案被譏笑為"念數學博班竟然一無所知"。好吧！關於曆法我的知識累積程度的確跟白癡沒什麼分別，於是我作了點功課：

就歷史的記載最早使用60進位制的是巴比倫人，然而我卻忘了我們的祖先也是使用60進位制的（這就是近代東方科學人的悲哀，崇洋媚外到數典忘祖的程度）。古代商朝用天干地支記日，天干和地支分別是

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥
由"甲日"到"癸日"稱為一旬，天干10干和地支12支，兩者的最小公倍數便是60，60干支一循環，東漢建武三十年（西元54年），只按60干支的次序記年，所以我們也稱60年為"一甲子",60歲的人稱為"花甲之年"。

但這些都沒有解決根本的問題，

為什麼是60進位制
我用google搜尋了一下，在某個論壇發現了一個我認為最合理的解釋：由日出到日落算作一日，則月亮的盈虧約30日為一週期，另外，由太陽升起的位置變化週期算作一年，則月亮一年內約出現12次的盈虧週期（木星也大約12年會出現在相同的位置），而30和12的最小公倍數便是60。

歷史上也曾經企圖改變這個千古以來的時間計數安排，1790年法國大革命期間，革命政府試圖用10進位制來計算時間，他們把一天分成10小時，一小時100分鐘，一分鐘100秒，最後也是以失敗收場（僅僅維持了 16 個月）。

深入閱讀：
奇摩知識-為甚麼一分鐘是60秒? 一小時是60分鐘?
《科學人雜誌》-話說計時器的演變
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数独 （Sudoku）

數學人對於數字和謎題（puzzle）狂熱迷戀，如宗教的殉教者一般，是一種無止境的自我折磨。記得有一次聽一位頗負盛名的數學教授演講，其中有一句話是這樣說的：

數學家的宿命就是要比別人會解方程式
除了方程式之外，數學人會無可自拔的陷入任何由邏輯架構出來的謎題（當然啦！其中也不乏一些腦筋急轉彎之類的Kuso題目）。

昨天在趕場完兩個家教後，在新氣象的普羅咖啡館裡面放鬆片刻，隨手翻閱中國時報發現了這個叫做 sudoku 的遊戲，開始玩下去就上癮了，遊戲的規則很簡單，就如左圖所示，在由九個九宮格組成的九宮格裡面，填入1~9的數目字，使得每一行和每一列以及每一個九宮格1~9都僅出現一次，題目會先填上若干的數字，剩下的空位再以邏輯推論該填上什麼數字。當然，題目所提供的資訊越少，題目的難度就會增加。

這個遊戲是由十八世紀的偉大數學家 Euler 發明的，原名叫 Number Place Puzzle，歷經兩百年，傳入日本後被發揚光大。1997 年一位英國的退休法官 Wayne Gould 在日本旅遊時，接觸到 sudoku，現在進而經營自己的網站。下面的這個網站

http://www.puzzle.jp/index-e.html

則有線上的版本可以玩。

昨天共玩了兩組 sudoku, 左下圖的那一個是比較簡單的，解出來之後就接著挑戰困難等級的（右下圖），有興趣的人也可以玩玩看。雖說是有趣的遊戲，困難的那一組也是經過三個小時的折磨才完成的咧！

深入閱讀：21世紀數字拼圖益智遊戲Sudoku
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有駕照跟有車開是兩回事

【中央社 】

(中央社記者翁翠萍台北十二日電) 許多儲備教師找不到教職而上街遊行，教育部中教司長陳益興回應三年內師資培育數量減低百分之五十一點二，國教司長吳財順說，希望大家看到民國八十六年到九十三年的國小小班計畫，政府每年多編人事費七十幾億元，已使國小生師比達十八點四三，緊追美、加、澳三先進國水準。
在儲備教師於立法院側門群賢樓前面集結的馬路上，陳益興代表教育部到場，做前述說明，他強調多元儲備師資的法制精神還是要遵守，讓學校能有最優秀的師資，但師資培育數量則要在供需上，做仔細評估。
吳財順也到場說明，但才說兩句話，就被打斷，在走回教育部的路上，媒體圍著詢問時，他指出，八十六年台灣的公立國小共有五萬八千多班，由於國小小班計畫，九十三年增加到六萬四千多班，國小教師人數也從八萬七千多人增加到九萬六千多人，增加九千多人。
不過，吳財順表示，這六年間，國中小教師退休六萬二千多人，加上前述九千多人，合計七萬一千多人，是從開放多元培育的國中小學儲備師資十萬九千多人當中聘任，平均就業率百分之七十一點三六，其中，國小師資培育人數五萬九千三百多人，就業率百分之七十八，中等教師四萬九千多人，就業率百分之六十三點四六，僅次於其他服務業，高於醫療保健社福、文化運動休閒、公共行政等類別，已屬高就業率。
對自稱流浪教師的儲備教師組成「拯救國教大聯盟」提出六大訴求，教育部回應指出，降低班級學生數到三十人以下方面，國小每班學生數目前平均二十九點五四人，已在三十人以下，生師比已達十八點四三人，與世界主要先進國家並駕齊驅。
在逐年提高教師編制到一班二名教師方面，教育部表示，增置國小教師員額與降低授課時數，自民國八十七年到九十三年度共投資六百八十三億元，已提高教師員額編制到一點五五。
落實控管三年內減少五成以上師資培育機構暨招生名額方面，教育部將持續推動師資培育機構退場機制，師資培育數量將從目前一萬九千三百多人調降為九千三百多人，調降五成一九，去年起編列三年三百億元教師退休經費，預估可核退二萬四千五百多人。
另外，教育部表示，已研擬「取消國中小學及幼稚園教職員工免稅後之後續方案」，重點就在把教師課稅額用以增加教育經費，加速提升教育品質；也正研擬「高中以下學校教師專業評鑑試辦辦法」草案，與相關補助實施計畫等草案，希望促進教師專業成長與擇優汰劣，也研修教師法積極處理不適任教師；公告要求教師甄試缺額明訂在簡章內，並將督導依規定辦理。

冰點下的事後諸葛：印象中，是在我大三那年開始開放給一般大專院校學生修教育學程，歷經十年，從我大學畢業、研究所畢業、一直到我當助教，看著一屆屆學弟妹前仆後繼的修教育學程。
老實說，抱著作育英才的人其實寥寥可數，一般大學生的心態都是什麼課好過就修什麼，同樣是教學原理，那個老師輕鬆就修那個，（我不是一竿子打翻一船人，只是想強調挑軟柿子的行為是一種普遍的人性）。曾經有一個學弟問我修教育學程好不好，我反問他，為什麼會想到去修教育學程，他的回答是：

不知道，只是大家都去修了，所以我也想去修
當下我就對未來的教育環境多了幾分憂心。在我看來，修教育學程的心態十分可議，我很懷疑有多少人真的是抱著當老師，而不是找鐵飯碗的心理。

這些聲稱流浪教師喊出「莫以少子化為藉口，趁火打劫」這樣的口號真的是未經深思熟慮，台灣人口高齡化已經是事實，之前教育部廣設高中大學已經讓許多學校面臨招生困難了，更不用說還有能力去顧及教師甄試錄取率下降的問題。再說有教師證並不代表就擁有工作，既然同意以開放市場競爭的原則（非師範體系也能修教育學程），自然就應該要接受市場競爭的結果。就從事教職而言，這些準教師在之前已經享受了平等參與競爭的權利，現在卻以結果論吵著跟政府要糖吃，似乎是過河拆橋。另外高齡化改變人口結構，長期來看勢必會影響到勞動人口的退休年齡以及退休金制度（中央社報導），以後的退休年齡勢必會延長，教師輪替的代謝會減緩，除未來近期中小學教師開始課稅外，教師的退休金在未來也可能會縮水，未來教師的處境絕不像現在抗爭的這些準教師們想像的那樣美好。

另外就「降低班級人數，提高教育品質」而言，準教師們是否能保證提高師生比就能帶來好的教學品質，我十分贊同會考試唸書的人，不一定會教書，也因此扼殺了許多有教育熱誠的人投身教育工作。但就算真的提高師生比，一旦被評定不適任，難道就真的願意放棄教職嗎？那麼為確保教育的品質，是否我們也可以每隔兩年就評定一次教師適任狀況，以作為重新核發教師證的依據呢？我覺得這些問題都是在抗爭扣大帽子前應該要想清楚的。

有教師證不代表有教職，就像有駕照不代表擁有汽車一樣的簡單。想要汽車，請自己努力賺錢買。

教育部小心了，之前廣設高中大學，以及過度開放教育學程的惡果，就快要到來了！
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這才是真正的建構式數學啊！

數學的困難在於它的抽象，因為無法"所見即所得"，造就了它令人痛恨的性質。然而抽象的事物需要透過不斷的分析才能理解，藉由最簡單易懂的 Case 所得到的結果，慢慢去演繹推廣至更複雜抽象的情況，最後希望可以得到一個簡單的表示法來詮釋我們觀察到的現象，去適用在各個具有此項本質的事物，通常我們稱之為"公式"（我個人覺得英文 formula 形容的比較貼切）。有點像禪宗的名言：

見山是山    見山不是山    見山又是山
之前在台灣弄得惡名昭彰的建構式數學，就是本著這樣的精神發展出來的，其立意是相當良善，說實在並非如大眾所想像的那麼的壞。為何在我們台灣會得到如此不良的反應，我想其實是很多問題在主導著。在這裡我並不想討論建構式數學對台灣數學教育的功過（今天沒心情寫幹譙文)。只是想強調其實使用適當的建構方法，數學其實可以很容易理解。

我舉個例子，根據以往高中的學習經驗以及現在教學觀察到的狀況，數學歸納法 大概是最難理解的部分，譬如證明以下的公式需要用到數學歸納法：


證明的過程對頭一次接觸數學歸納法的學生來說其實並不好理解。這個數學網站收集了一些簡單高中數學證明的 flash 動畫，像上面三個公式的證明真的可以用"一目了然"來形容，這才是真正的建構式數學啊！





終於知道如何用在網頁上排版數學符號了，寫數學還是才是王道啊！