無言的數學

我常常跟我的家教學生講，國文程度不好會影響數學成績，要解決一個題目前，看懂題目是必要的條件，不過有些題目還真不容易看懂，例如以下的這個：

某歌唱訓練班根據以往的經驗得知：每花 10 萬元在報章雜誌上替歌手打廣告可以提升歌手的形象指數 5 點，知名度指數 10 點；反之，若在電台上，同樣花 10 萬元替歌手打廣告，則可以提升歌手的形象指數 6 點，知名度指數 4 點。根據市場調查發現成為名歌星的形象指數至少 160 點，知名度指數亦至少 160 點，而且綜合指數（形象指數與知名度指數的和）至少 360 點。試問：歌唱訓練班要讓一位新歌手（形象指數與知名度指數皆為 0）成為名歌星，至少應該花多少廣告費？者些廣告費報章雜誌與電台各分配多少，效果最好。

這是民國 91 年大學指定考科數學乙的題目，說來汗顏，這個題目我也是看了三遍才瞭解題目在問什麼。如果說國文程度會影響對題目理解能力的話，換成不是我們母語的英文，情況應該就更嚴重了，而這正是我大學時代機率論老師跟我們強調的事：

英文程度影響數學（至少是機率）成績
看看下面的敘述：

At a psychiatric clinic the social workers are so busy that, on the average, only 60 percent of potential new patients that telephone are able to talk immediately with a social worker when they call. The other 40 percent are asked to leave their phone numbers. About 75 percent of the time a social worker is able to return the call on the same day, and the other 25 percent of the time the caller is contacted on the following day. Experience at the clinic indicates that the probability a caller will actually visit the clinic for consultation is 0.8 if the caller was immediately able to speak to a social worker, whereas it is 0.6 and 0.4, respectively, if the patient's call was returned the same day or the following day.
(a) What percentage of people that telephone visit the clinic for consultation ?
(b) What percentage of patients that visit the clinic did not have to have their telephone calls returned ?

現在回想起來，大二考機率時真的有因為看不懂題目還請老師翻譯的糗事。語言似乎是學習數學以及其他抽象思考的基礎，畢竟任何的思想都必須透過語言及文字來傳達，但是不是一定得靠語言才能學習數學之類的抽象思考呢？看看終極密碼戰裡面那個自閉神童似乎又不一定是這樣子，這一期科學人雜誌裡面有篇文章，Math without Words 給了我們新的思考方向。

英國 Sheffield 大學的科學家，描述了三位腦部語言中心嚴重受損的中年男性所展現的數學運算能力，顯示失語症患者可以做數學運算。研究發現，雖然受試者已無法瞭解語法的差異，例如 "The dog bit the boy" 以及 "The boy bit the dog" 的差別，但卻可以理解 59-13 與 13-59 的不同。受試者甚至對更抽象觀念的理解也沒有障礙，例如數字無限的概念，受試者利用各種的方法表示介於 1 與 2 之間的數目字，包括增加小數點後的位數，如 1.5、1.55、1.555…等。

但是受試者對於語言描述的數學問題，如 "seven minus two" 卻無法理解，此研究結果指出，無論語言對於數學有多少幫助（也許做為記憶的工具），對計算來說卻不是必須的，而且兩者是在腦中不同的部位進行。麻省理工學院的語言學家 Noam Chomsky 認為，語言、數學可能還包括其他的認知，都仰賴一種稱為 "mentalese（心智語言）" 的更深層屬性，其關鍵可能是人類獨有的 "recursive（遞迴）" 計算能力，這個能力或許可以解釋心智如何將有限的詞彙組合成無限且複雜的敘述。已經有些學者主張，或許腦部透過語言建立對數學的瞭解，當"鷹架"拆除後，成果仍繼續保存。

我的看法是，固然研究顯示語言跟數學運算在腦中是平行獨立運作的，但擁有邏輯電路閘的矽晶片也有計算能力，在計算中語言也非關緊要，是否人腦真的只是一個電路比較複雜的矽晶片？唯一的差別僅僅是對於語言溝通上的運用比較精進？畢竟神經心理學並非我所專長，無法真正瞭解這個實驗的重要性，不過，以後監考時休想有學生叫我翻譯題目給他們聽了。
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