一樣數學兩種表述

有的人喜歡算命的原因，是喜歡那種確定的感覺，明白的告訴你什麼可以，跟什麼絕對不行。我想這樣的人可能對數學的排斥感會比其他人低一點，因為數學也是一門這樣的學問。

女友在教今晚的家教時發現了一個有趣的題目：

任何一個凸十邊形最多只能有三個銳角
銳角就是小於（直角）的角度，凸多邊形就是沒有"凹下去"的多邊形，這樣講好像跟沒講一樣，用圖來說明比較清楚：

  這是一個凹十邊形    這是一個凸十邊形。

在告知我這個問題之後，我們兩人分別想出自己的證明方式。女友的思路向來比較嚴謹跟縝密，要求什麼就假設什麼，她先假設隨便一個十邊形有 個角度 ，則這些角度一定會 , 其中 是一個大於0的任意數。因為十邊形的內角和是 （一個 邊形的內角和為 ），所以一個正十邊形的內角是 ，如一個十邊形有 個銳角，則剩下的 的內角就必須要"分攤"這 個銳角不到 的部分，所以會有下面的不等式：


最後推得 ，因為 是整數，所以 最多只能到3。

而我天生反骨，我就偏要看看如果有四個內角 會怎樣。若是這樣，那這四個銳角的內角和就 ，因為十邊形的內角和是 ，所以其他六個內角的內角和會大於 ，則其中必定有一個角的角度一定大於 ，這樣就跟凸十邊形矛盾了。所以銳角個數不可能大於3個。

順著看也行，反著看也行，鍾鼎山林，各有所好。

後記：後來發現這是一個普遍性的現象，也就是說，

任一個凸 邊形最多只能有三個銳角
也是利用同樣的證法，假設有四個內角 ，四個銳角的內角和就 ，一個 邊形的內角和為 ，由此推得剩下的 內角的內角和會大於 ，則其中必定有一個角的角度一定大於 ，這樣就跟凸 邊形矛盾了。所以銳角個數不可能大於3個。
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