平溪行

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這個星期一，趁著大家都在上班上課的時候，很奢侈的跟朋友去走平溪支線。

在火車上跟列車長聊天，由於列車長的推薦，我們從三貂嶺車站旁的森林步道開始，聽說會看到一個瀑布群，大約走一個小時後"路"就消失了，我們幾乎是憑直覺沿著溪流往上游走，要不是身旁樹上綁著各登山隊的布條，不然真會懷疑是不是走錯路了，不過看到瀑布的瞬間就覺得一切都是值得的，再走到柏油路上已經是四小時後的事了。

途中碰到一位阿伯，問路之餘順便閒聊一下，老阿伯說以前的夏天平溪沒有這麼熱，現在熱多了，他說：

天破了一個洞，所以現在才會這麼熱
接著又說：

都是因為那些飛機太空船的在天上飛來飛去，
把天空戳破了一個洞的結果
這番話讓我思考了許久，老農夫也許對於天空破洞的成因不甚清楚，卻瞭解對大自然應保持敬畏之心，或許臭氧層破洞，真的是因為人類對於科技過於自信，對自然疏於尊重所導致的惡果。

這個夏天內灣、平溪兩條鐵路支線都走過了，希望今年結束之前還有如此難得的機會，去造訪剩下的兩條支線。

無言的數學

我常常跟我的家教學生講，國文程度不好會影響數學成績，要解決一個題目前，看懂題目是必要的條件，不過有些題目還真不容易看懂，例如以下的這個：

某歌唱訓練班根據以往的經驗得知：每花 10 萬元在報章雜誌上替歌手打廣告可以提升歌手的形象指數 5 點，知名度指數 10 點；反之，若在電台上，同樣花 10 萬元替歌手打廣告，則可以提升歌手的形象指數 6 點，知名度指數 4 點。根據市場調查發現成為名歌星的形象指數至少 160 點，知名度指數亦至少 160 點，而且綜合指數（形象指數與知名度指數的和）至少 360 點。試問：歌唱訓練班要讓一位新歌手（形象指數與知名度指數皆為 0）成為名歌星，至少應該花多少廣告費？者些廣告費報章雜誌與電台各分配多少，效果最好。

這是民國 91 年大學指定考科數學乙的題目，說來汗顏，這個題目我也是看了三遍才瞭解題目在問什麼。如果說國文程度會影響對題目理解能力的話，換成不是我們母語的英文，情況應該就更嚴重了，而這正是我大學時代機率論老師跟我們強調的事：

英文程度影響數學（至少是機率）成績
看看下面的敘述：

At a psychiatric clinic the social workers are so busy that, on the average, only 60 percent of potential new patients that telephone are able to talk immediately with a social worker when they call. The other 40 percent are asked to leave their phone numbers. About 75 percent of the time a social worker is able to return the call on the same day, and the other 25 percent of the time the caller is contacted on the following day. Experience at the clinic indicates that the probability a caller will actually visit the clinic for consultation is 0.8 if the caller was immediately able to speak to a social worker, whereas it is 0.6 and 0.4, respectively, if the patient's call was returned the same day or the following day.
(a) What percentage of people that telephone visit the clinic for consultation ?
(b) What percentage of patients that visit the clinic did not have to have their telephone calls returned ?

現在回想起來，大二考機率時真的有因為看不懂題目還請老師翻譯的糗事。語言似乎是學習數學以及其他抽象思考的基礎，畢竟任何的思想都必須透過語言及文字來傳達，但是不是一定得靠語言才能學習數學之類的抽象思考呢？看看終極密碼戰裡面那個自閉神童似乎又不一定是這樣子，這一期科學人雜誌裡面有篇文章，Math without Words 給了我們新的思考方向。

英國 Sheffield 大學的科學家，描述了三位腦部語言中心嚴重受損的中年男性所展現的數學運算能力，顯示失語症患者可以做數學運算。研究發現，雖然受試者已無法瞭解語法的差異，例如 "The dog bit the boy" 以及 "The boy bit the dog" 的差別，但卻可以理解 59-13 與 13-59 的不同。受試者甚至對更抽象觀念的理解也沒有障礙，例如數字無限的概念，受試者利用各種的方法表示介於 1 與 2 之間的數目字，包括增加小數點後的位數，如 1.5、1.55、1.555…等。

但是受試者對於語言描述的數學問題，如 "seven minus two" 卻無法理解，此研究結果指出，無論語言對於數學有多少幫助（也許做為記憶的工具），對計算來說卻不是必須的，而且兩者是在腦中不同的部位進行。麻省理工學院的語言學家 Noam Chomsky 認為，語言、數學可能還包括其他的認知，都仰賴一種稱為 "mentalese（心智語言）" 的更深層屬性，其關鍵可能是人類獨有的 "recursive（遞迴）" 計算能力，這個能力或許可以解釋心智如何將有限的詞彙組合成無限且複雜的敘述。已經有些學者主張，或許腦部透過語言建立對數學的瞭解，當"鷹架"拆除後，成果仍繼續保存。

我的看法是，固然研究顯示語言跟數學運算在腦中是平行獨立運作的，但擁有邏輯電路閘的矽晶片也有計算能力，在計算中語言也非關緊要，是否人腦真的只是一個電路比較複雜的矽晶片？唯一的差別僅僅是對於語言溝通上的運用比較精進？畢竟神經心理學並非我所專長，無法真正瞭解這個實驗的重要性，不過，以後監考時休想有學生叫我翻譯題目給他們聽了。
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內灣行

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趁著剛考完放暑假的空檔，去內灣走走，早上的時候天氣不太好，都陰陰的，到了下午才有太陽…

再來又要開始忙了…唉！

我看《遇見哥德巴赫猜想》

數論，數學裡面相當古老的一支學問，古老到與文明的起源同樣的長久，自人類開始運用手指頭計數的當下，就是數論誕生之時。隨著時間演進，由單純的計數（counting）動作，漸漸衍生出抽象"數"（number）的概念，藉由四則運算的定義，賦予數諸多性質，例如除法、整除性、質數…等等，全都是我們小學就已經學過而且熟練的東西，這麼簡單的東西卻折磨了數學家四千多年，因為我們還沒完全瞭解數的全部面貌。

《遇見哥德巴赫猜想》 是一本跟數學有關的小說。第一次看到書上的簡介，我的腦中浮現的應該是跟各位一樣的想法：跟數學有關！那一定沈悶到了極點，充其量稱之為一本科普書還差不多，叫小說太牽強。後來聽我老師形容這是一本精彩的小說，描寫數學人面對困難挑戰的心裡十分的傳神，（後來我想想美麗境界不也是一部跟數學有關而且好看的電影），但他後面還加了一句

這是一個失敗數學家的故事
我一直遲遲不願意翻閱，自從買來就被我冷凍在書櫃裡，深怕在裡面找到自己的影子。書中的簡介是這樣寫的：

派楚先生畢生致力於挑戰史上最困難的數學理論之一：哥德巴赫猜想。在旅居多國、歷經不同戰爭，以及與歷史人物對立的引人場面後，派楚已努力朝向成功之境邁進，直到他不發一言地消失在希臘鄉村的那一天…
數十年後，雄心勃勃的姪子探知了派楚不為人知的過去，鼓勵這位退隱的遁世者回到哥德巴赫猜想的研究上：但這趟不悔的終極追尋旅程已賠上了這老年人的健康，甚至他的一生…

但我終究還是翻開了這本書，而且一開始看就停不下來，連著四小時一口氣的讀完。

哥德巴赫猜想是在 1742 年一個業餘的德國數學家 Goldbach 寫給知名數學家 Euler 的信中提到：

任何一個大於5的整數都可以寫成三個質數和
Euler把他改成現今大家比較熟悉的版本：

任何一個大於2的偶數都可以寫成兩個質數和
這個問題就跟費瑪最後定理一樣的淺顯易懂，然而費瑪最後定理折磨數學家三百多年，哥德巴赫猜想仍持續地凌虐著現代的數學人們。

作者藉由一個虛構的主角，來描述近代一些數學上重要的進展，如質數定理（Prime Number Theorem）的證明，Hilbert 的23個問題等等，其中也穿插了一些知名數學家如 Caratheodory、Hardy、Littlewood、Ramanujan、Turing、Gödel 的軼事。

數學是一門很奇特的學科，它是少數人類智力活動中與體育運動如此相仿的學問，需要年輕以及天分作為成功的條件。數學界中的聖盃 Fields Medal 就限制40歲以前的數學家才有得獎資格，Ramanujan 在短暫的37歲生命中對數學提供了許多貢獻，也留下了許多奇異的猜想，而 Galois 在未滿20歲時已經解決了亙古的希臘三大幾何難題的其中兩個，45歲才證明費瑪最後定理的 Andrew Wiles 倒是一個令人驚奇的特例。除了上述兩個條件外，成功的數學家也需具備異於常人的毅力跟專注，不過也因此導致許多數學家悲慘的命運，Abel 終其一生窮困潦倒，Ramanujan 和 Galois 英年早逝，Turing 自殺，Cantor 下半輩子都住在精神療養院，Gödel 患有精神分裂症，最後絕食而死。這些天才用盡了他們一生的智力為數學綻放出絢爛的火花，卻也因此烈火灼身而亡。

當我唸完大學數學，便瞭解數學是天才玩的遊戲，不自量力的繼續堅持只為了能多欣賞一下這門藝術，進而帶領有興趣的人進入這個 wonderland。我相信數學是宇宙共通的語言，任何人都是在旅行的途中偶然發現了一顆寶石，而歷史為其人記上一筆喝采，我並不相信刻意的尋找會有任何結果，對於書中主角之於哥德巴赫猜想幾近狂熱的執著，一方面感到佩服，另一方面也感到惋惜。所以當我看到《費瑪最後定理》中描述 Adrew Wiles 十歲時接觸到費瑪最後定理就立志證明它的文字，我彷彿看到年幼的蔣公在河中發現小魚逆流而上般的神話。

至於我在書中有沒有看到我的影子呢？當然有，而且到處都是。

深入閱讀：
遇見哥德巴赫猜想
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舊照整理（1）

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從高中第一台 Nikon FM2 到現在，累積了不少的相片，一直沒有好好的整理過，希望可以慢慢的整理出來。

一樣數學兩種表述

有的人喜歡算命的原因，是喜歡那種確定的感覺，明白的告訴你什麼可以，跟什麼絕對不行。我想這樣的人可能對數學的排斥感會比其他人低一點，因為數學也是一門這樣的學問。

女友在教今晚的家教時發現了一個有趣的題目：

任何一個凸十邊形最多只能有三個銳角
銳角就是小於（直角）的角度，凸多邊形就是沒有"凹下去"的多邊形，這樣講好像跟沒講一樣，用圖來說明比較清楚：

  這是一個凹十邊形    這是一個凸十邊形。

在告知我這個問題之後，我們兩人分別想出自己的證明方式。女友的思路向來比較嚴謹跟縝密，要求什麼就假設什麼，她先假設隨便一個十邊形有 個角度 ，則這些角度一定會 , 其中 是一個大於0的任意數。因為十邊形的內角和是 （一個 邊形的內角和為 ），所以一個正十邊形的內角是 ，如一個十邊形有 個銳角，則剩下的 的內角就必須要"分攤"這 個銳角不到 的部分，所以會有下面的不等式：


最後推得 ，因為 是整數，所以 最多只能到3。

而我天生反骨，我就偏要看看如果有四個內角 會怎樣。若是這樣，那這四個銳角的內角和就 ，因為十邊形的內角和是 ，所以其他六個內角的內角和會大於 ，則其中必定有一個角的角度一定大於 ，這樣就跟凸十邊形矛盾了。所以銳角個數不可能大於3個。

順著看也行，反著看也行，鍾鼎山林，各有所好。

後記：後來發現這是一個普遍性的現象，也就是說，

任一個凸 邊形最多只能有三個銳角
也是利用同樣的證法，假設有四個內角 ，四個銳角的內角和就 ，一個 邊形的內角和為 ，由此推得剩下的 內角的內角和會大於 ，則其中必定有一個角的角度一定大於 ，這樣就跟凸 邊形矛盾了。所以銳角個數不可能大於3個。
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