佛曰：不可說

Wir müssen wissen, Wir werden wissen，這是十九世紀末偉大的數學家 Hilbert David 在 1930 年接受 Konigberg 贈與榮譽市民時演講的最後兩句話，同時也是他的墓誌銘。其意思是，"我們一定要知道，我們終將會知道"，樂觀的宣稱數學裡所有問題都可以由一些不言自明公理系統出發，經過有限步驟的邏輯推理證明出來，象徵著數學的嚴謹與不容質疑的正確性。

兩個星期前在五樓D桑的blog看到了沒有邏輯，沒有真相這篇文章，讓我想起了這段關於數學家挫敗的故事。

亞里士多德的三段論證法，在邏輯學上屹立數千年之久，其中歸納及演繹的邏輯手法為數學提供了強而有力的後台，讓千年以來的數學家無後顧之憂的探索未知的荒土，到了十九世紀末的數學公理化運動達到了最高峰。然而也在同一時期荷蘭的數學家 Luitzen Egbertus Jan Brouwer 對傳統邏輯提出強烈的質疑，尤其是排中律 (the law of excluded middles)，即對任一命題「A」，A或A之否定命題必有一為真，他認為我們不可無條件的接受，Brouwer 堅持有其他的可能性，若接受了此一說法，連帶的，數學中許多的證明將不再被接受，特別是所謂存在性的證明。例如，要證明某一微分方程式有解，則必須給出一個方法，把這個解找出來，而不可僅證明「若無解會導致矛盾」，而這卻是一般數學家們所常用的方法，可想而知這對數學家來說是莫大的災難。

其實早在西元前六世紀，希臘哲學家 Epimenides 便提出了著名的 Epimenides 悖論，身為克里特島人的他提出了下面的命題：

所有克里特島人說的話都是謊話

如果這句話是真的，代表 Epimenides 說的是實話，所以這句話就變成假的了。我們再用大家熟悉的例子來說明，假設某位台灣人宣稱以下的命題：

(A) 某人說 "全台灣人都謊稱天邊一朵雲是部 A片"
(B) 全台灣人說的都不是真話

如果命題「A」是對的，那命題「B」就是對的，代表某人說謊，所以命題「A」就是錯的。換句話說天邊一朵雲是部A片有可能是實話。如果有耐性的各位看到了這邊，我們再以形式邏輯的論點來看這個悖論：

(A) 命題「B」為真
(B) 命題「A」為假

如果命題「A」是對的，那命題「B」告訴我們命題「A」是錯的！！反之，若命題「A」是錯的，則命題「B」是錯的，則我們推得命題「A」是對的！！不管那個方向都會得到矛盾。由此可看出邏輯運用在我們的語言上是多麼的無力。

的確，數學不允許矛盾，二十世紀初的數學家致力要消除這樣的悖論，於是有了數理邏輯的誕生，但是於1931年一位年僅25歲的天才數學家 Kurt Gödel 發表了一篇名為不完備定理的論文，徹底的粉碎 Hilbert 的美夢，其中的第一不完備定理（First Incompleteness Theorem）說：

任何一個足夠強的一致公理系統，必定是不完備的

換句話說一定存在無法證明其真假的命題。

不完備定理徹底的擊垮了自傲的數學家，現今除數理邏輯學家仍奮力不懈的向不完備定理挑戰外，大部分的數學家都採取掩耳盜鈴的心態，認為不完備定理是屬於邏輯學的範疇（1978年已發現了在數學中存在無法被證明其敘述為真的命題）。除此之外，對電腦科學也產生很大的影響，尤其是在人工智慧是否會受到限制的議題上。

十九世紀普遍的數學家都相信，沒有邏輯，沒有真相。但實際的情況是，即使有了邏輯，但真相是什麼？不完備定理告訴我們，再嚴謹的邏輯系統都無法完全的掌握真相，也許正如禪門公案裡面所描述的，佛曰：不可說，不可說。
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